En este episodio de El Arte De Pensar hablamos sobre la falacia del inverso. Este error en la deducción lógica ocurre cuando confundimos al antecedente con el consecuente en una implicación. A la hora de hablar de una regla general, la falacia del inverso ocurre cuando se confunde la conclusión con la hipótesis. Este no es un problema que se restringe nada más al lenguaje coloquial y no estructurado. Es posible encontrar este tipo de falacias en el análisis de resultados en experimentos clínicos y científicos. Esto generalmente ocurre cuando no se identifica correctamente las condiciones en problemas de probabilidad. La resolución de la falacia del inverso en probabilidades es posible gracias al teorema de Bayes, el cual relaciona probabilidades condicionales en el orden correcto.
En este episodio de El Arte De Pensar hablamos sobre el poder de los procesos. Alcanzar un objetivo, realizar una tarea, o crear un objeto involucra un proceso. Si bien es importante comenzar dicho proceso contundentemente, lo mas importante es continuar el proceso un paso a la vez. Uno de los resultados más importantes en matemática es el Teorema de Taylor, que precisamente hace la identificación entre un objetivo y el proceso de obtenerlo. Este proceso refina y mejora el objetivo un paso a la vez. Esta cualidad es importante a la hora de emprender cualquier objetivo en la vida. Sin embargo, cabe destacar que siempre es posible mejorar algo y podemos caer en la trampa de nunca terminar. Es entonces importante el poder medir el progreso para determinar cuales son los niveles suficientes del objetivo que queremos alcanzar.
En este episodio de El Arte De Pensar hablamos sobre la notación. Desde nombrar objetos y sentimientos hasta utilizar ecuaciones para modelar la realidad, la notación es algo fundamental para la comunicación y el entendimiento humano. El desarrollo y utilización de símbolos para identificar ideas ha evolucionado a través de la historia. Por medio de utilizar notación concisa, los seres humanos han podido desarrollar y avanzar en las diversas áreas del conocimiento. Desde la ciencia hasta el arte, el uso de símbolos ha ayudado a poder comunicar ideas, sistematizar prácticas y avanzar como sociedad. Incluso a nivel individual, la notación provoca en crecimiento interno en el ser humano que le hace capaz de poder interactuar de manera más efectiva con su entorno. La notación se vuelve entonces un aspecto importante del ser humano como individuo y como especie.
En este episodio de El Arte De Pensar abordamos el tema de modelar la realidad. Principalmente utilizamos nuestros sentidos para experimentar la realidad. Sin embargo, también utilizamos modelos mentales para poder interpretarla. Nuestro cerebro procesa la información que recibe de los sentidos y luego utiliza modelos mentales para poder interpretar de manera eficiente la información recibida. Constantemente utilizamos modelos mentales cuando interactuamos con nuestro entorno y con los demás. Un modelo es una simplificación de la realidad que busca enfocarse en ciertas propiedades importantes. Esto implica que nuestros modelos mentales conllevan errores de interpretación. Esto es lo que hace posible las ilusiones ópticas y la ambigüedad en la comunicación. Nuestra habilidad de interpretación involucra el control y manejo de errores y de ambigüedad. La utilización de modelos en matemática nos ayuda a reconocer los alcances y límites de la modelación y del manejo de errores.
En este episodio de El Arte De Pensar abordamos el tema del cálculo. Uno de los aspectos más importantes del cálculo no es el encontrar números ni manipular expresiones algebraicas, sino el desarrollar estrategias de resolución de problemas. Esto se logra por medio de analizar las dos grandes áreas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. Cada una de estas áreas nos muestra perspectivas importantes a considerar a la hora de resolver un problema o conflicto. Uno se enfoca en el análisis de lo particular, mientras que el otro en el estudio de lo general. El éxito del cálculo es entonces el lograr combinar ambos análisis para poder obtener una solución que considere tanto lo específico como lo general.
En este episodio de El Arte De Pensar abordamos el tema del álgebra. Generalmente experimentamos el álgebra como métodos repetitivos y memorísticos. Sin embargo, la historia del álgebra se basa en la estandarización de métodos para resolver problemas. Esto viene íntimamente relacionado con el desarrollo de los llamados algoritmos, los cuales son métodos específicos para resolver algún tipo de tarea. El algoritmo de la suma o la división son ejemplos de procedimientos que funcionan independientemente de las cantidades utilizadas. El álgebra entonces viene a promover el uso de métodos estándar de solución de problemas que funcionan siempre, independientemente del tipo de objetos con los que se trabaje. Podemos entender a esto como el estudio de procedimientos que nos permiten abstraer la esencia de los fenómenos que buscamos describir.
En este episodio de El Arte De Pensar abordamos el tema de los números y su significado. Usualmente al pensar en números pensamos en mediciones. Sin embargo, a la hora de medir cantidades necesitamos satisfacer algunas propiedades. En primer lugar, a la hora de medir una cantidad es necesario tener una referencia universal. Este es el caso de las cantidades físicas, en las cuales tenemos patrones universales de referencia. Así mismo, dichas mediciones deben de ser coherentes. Esto nos lleva a establecer una Teoría de la Medida. Es posible entonces describir matemáticamente las propiedades que las mediciones deben de satisfacer. Sin embargo, no todos los números que encontramos en el día a día vienen de procesos rigurosos de medición. Algunos de estos números vienen nada más de sistemas de asignación de números, los cuales no necesariamente producen mediciones. En estos sistemas no necesariamente tenemos que existe una referencia universal. Además, muchos de estos números tampoco resultan ser coherentes entre sí. Es decir no satisfacen las propiedades lógicas que obedecen las mediciones objetivas.
En este episodio de El Arte De Pensar abordamos el tema de las las diferencias y las comparaciones. Subconscientemente pensamos que cuando dos cosas son distintas necesariamente una debe ser mejor que la otra. Esto nos pasa a la hora de evaluar opciones, de comparar resultados, e incluso de plantear objetivos. Sin embargo, esto no es siempre cierto. Matemáticamente, a esta descripción se le conoce como una relación de orden. Las relaciones de orden son sistemas matemáticos que nos permiten comparar objetos de manera objetiva. Cuando una relación de orden satisface la propiedad de que al tener objetos distintos necesariamente uno es mejor que el otro, esta relación se llama de orden total. Usualmente tendemos a pensar en términos de relaciones de orden total en la vida. Pero, además de las relaciones de orden total, también tenemos relaciones de orden parcial. Esto nos añade matemáticamente una nueva opción a la hora de relacionar objetos. No solo se puede dar lo anterior, sino que también se considera el hecho de que dos objetos no sean comparables. Es decir, en las relaciones de orden parcial, al tener dos objetos distintos, podemos tener que dichos objetos sencillamente no pueden ser comparados. Esto, por ejemplo, nos pasa a la hora de enfocarnos en características cualitativas. Generalmente cuando vemos características cualitativas podemos determinar si son iguales o no. Nuestra intuición nos dice que al ser distintas, una debería ser mejor que la otra. Sin embargo, muchas veces estamos trabajando en un sistema de orden parcial, y no de orden total. De esta manera, contrario a nuestra intuición, distinto no necesariamente quiere decir mejor.
En este episodio de El Arte De Pensar abordamos el tema de las definiciones. En la vida diaria enfrentamos situaciones en las cuales podemos tener una diferencia de opiniones respecto de algún tema. Muchas veces estas diferencias se deben a un problema de definiciones. A veces utilizamos los mismos términos para referirnos a cosas distintas. En matemática, las definiciones son importantísimas puesto que nos permiten delimitar y evaluar efectivamente una situación. De igual manera, en la vida cotidiana podemos utilizar esta idea para aclarar conflictos. Así mismo, las definiciones nos ayudan a plantear objetivos claros en nuestra vida. De esta forma es posible establecer de manera más efectiva el estado de un objetivo. Si bien en la vida existen conceptos que son ambiguos y no pueden ser totalmente definidos, el tratar incluso de elaborar una definición parcial nos ayuda a ser un poco más objetivos a la hora de manejar ciertas situaciones.
El Arte de Pensar es un Twitter Space y Podcast que explora diversas técnicas de pensamiento para ser más efectivos. En promedio utilizamos casi el 50% de nuestro tiempo pensando en cosas diferentes a las que estamos haciendo en el momento. Si pasamos tanto tiempo pensando, ¿no sería bueno implementar estrategias para pensar de manera más efectiva? Mi nombre es Pedro Morales Almazan, soy profesor de matemática en la Universidad de California en Santa Cruz y esto es El Arte de Pensar.