Why the irregular articulation of "kadesh" in place of the usual- "kiddush"?
It's connected to something unique about the Jewish People and our relationship as individuals to our nation and our God, which is initialized on Pesach, when we left Mitzrayim, and each Leil HaSeder since.
קדש.
1. The symbiotic relationship between Klal Yisrael and each Jew
כי חלק ד' עמו, יעקב חבל נחלתו. והנחלה היא נחלת אמת.
המאורעות שעליהם יתנחלו הדורות בציוריהם הקדושים הם דברים של אמת מעשית, שע"פ התפיסה היותר פרטית היא לעולם איננה משתנית מאמתתה. ע"כ יש בכחה לתן כח חיים פרטיים לכ"א ואחד מישראל, עד שכל ציור פרטי שבכל נפש יחידה היא מוסיפה בו אור וחיי עולם לה ולדורותיה, עד שיש ביד כ"א מישראל לתן כח־קדושה מצדו אל היום, לקדש את היום.
2. How this comes out specifically regarding Kiddush, being zecher l’yetziat Mitzrayim and doesn’t lose its potency
ע"כ שורש הקידוש הפעלי ביותר, הפרטי, הפועל מצדינו על היום, הוא נובע ביציאת־מצרים, מהתגלות האמת המעשית שאינה יכולה להשתנות בבהירותה הכללית ג"כ אצל כל יחיד ויחיד.
3. This is unique to Am Yisrael, as opposed to other nations
וזהו כח החירות, היציאה מבית־עבדים, שכל הפרטים שבכל אומה ולשון אי־אפשר להם שיהיו נכללים בהמוסר הרוחני של עמם אלא אם יהיו עבדי הכלל, כלומר רק מושפעים ונפעלים ממנו, אבל אי־אפשר כלל להם מצד פרטיותם לשאוב ציורי אמת, הראויים להיות עומדים וקימים ופועלים, ממקור הכללי שלהם, באורח חירות של אמת מוחלטת, מה שא"כ ישראל זרע אמת "אך עמי המה בנים לא ישקרו ויהי להם למושיע". השי"ת ביחודו האמיתי לעד הוא להם למושיע. ואינם צריכים [עמו אל] נכר ומושיע אין בלתו, וכח האמת האלהית, שהוא מקור הקדושה הכללית של ישראל, נותן כחו בהם לכל יחיד] פרטי, להתקדש בכח עצמי ולהעשות בזה [מוכן להוסיף קדושה] מיוחדת מצדו ליום.
4. Why we highlight this specifically on kiddush of the beginning of Pesach, and call it “kadesh”.
ע"כ ברגש קודש כולו אומר [בליל התקדש] חג זה, מקור יסוד לכל מועדי ד' כולם, לשמירת הזכרון הכללי, ההולך ומאיר ג"כ בכל הפרטיות הציוריות לכלל יותר גדול, הכולל את] העושר של הנקודות החיות המתוספות בו בכל [המדרגות הפרטיות שבמהלך ] הקדושה של ישראל, דקדשינהו לזמנים, נאמר לכל יחיד ויחיד שבישראל להכיר את ערך פעולתו, זורע צדקה שכר אמת קדש.